Немногие геометрические фигуры столь же разнообразны, как многоугольники. Они включают знакомые треугольник, квадрат и пятиугольник, но это только начало.
В геометрии многоугольник – это любая двумерная фигура, отвечающая следующим условиям:
- Состоят из трех и более прямых линий
- Закрыт без отверстий и разрывов в форме
- Имеет пары линий, которые соединяются в углах или вершинах, где они образуют углы
- Имеет одинаковое количество сторон и внутренних углов
Двумерный означает плоский, как лист бумаги. Кубы не являются многоугольниками, потому что они трехмерны. Круги не являются многоугольниками, потому что они не содержат прямых линий.
Особый тип многоугольника может иметь не все углы равные. В этом случае он называется неправильным многоугольником.
О полигонах
Название polygon происходит от двух греческих слов:
- Poly, что означает много
- Гон, что означает угол
Фигуры, являющиеся многоугольниками
- Тригон (треугольник): 3 стороны
- Тетрагон (квадрат): 4 стороны
- Пентагоны: 5 сторон
- Шестиугольник: 6 сторон
- Семиугольник: 7 сторон
- Восьмиугольники: 8 сторон
- Нонагон: 9 сторон
- Десятиугольник: 10 сторон
- Undecagon: 11 сторон
- Додекагоны: 12 сторон
Как называются полигоны
Имена отдельных многоугольников происходят от количества сторон или углов, которыми обладает фигура. Многоугольники имеют одинаковое количество сторон и углов.
Общим названием большинства многоугольников является греческий префикс «стороны», присоединенный к греческому слову «угол» (угольник).
Примеры этого для правильных многоугольников с пятью и шестью сторонами:
- Penta (греческое значение пять) + gon= pentagon
- Hexa (греческое значение шесть) + gon= шестиугольник
Есть исключения из этой схемы именования. В частности, со словами, которые чаще используются для обозначения некоторых полигонов:
- Triangle: Использует греческий префикс Tri, но вместо греческого gon используется латинский angleиспользуется. Trigon - правильное геометрическое название, но используется редко.
- Quadrilateral: образовано от латинского префикса quadri, , означающего четыре, присоединенного к слову lateral,, другое латинское слово, означающее side.
- Квадрат: Иногда четырехсторонний многоугольник (квадрат) называют четырехугольником или четырехугольник.
Н-Гоны
Многоугольники с более чем 10 сторонами встречаются нечасто, но следуют тому же греческому соглашению об именах. Итак, 100-сторонний многоугольник называется hectogon.
Однако в математике пятиугольники иногда удобнее называть n-угольниками:
- 11-угольник: Hendecagon
- 12-угольник: Додекагон
- 20-угольник: Икосагон
- 50-угольник: Пятиугольник
- 1000-гон: Чилиагон
- 1000000-гон: Мегагон
В математике n-угольники и их аналоги с греческими именами взаимозаменяемы.
Ограничение полигонов
Теоретически количество сторон, которые может иметь многоугольник, не ограничено.
По мере того, как размер внутренних углов многоугольника увеличивается, а длина его сторон становится короче, многоугольник приближается к окружности, но никогда не достигает ее.
Классификация полигонов
Правильные и неправильные многоугольники
Многоугольники классифицируются на основе того, равны ли все углы или стороны.
- Правильный многоугольник: Все углы имеют одинаковую величину, а все стороны равны по длине.
- Неправильный многоугольник: Не имеет равных углов или сторон одинаковой длины.
Выпуклые и вогнутые многоугольники
Второй способ классификации многоугольников - по размеру их внутренних углов.
- Выпуклые многоугольники: внутренние углы не превышают 180°.
- Вогнутые многоугольники: Имеют хотя бы один внутренний угол больше 180°.
Простые и сложные полигоны
Другой способ классификации многоугольников - это пересечение линий, образующих многоугольник.
- Простые многоугольники: Линии соединяются или пересекаются только один раз - в вершинах.
- Сложные многоугольники: Линии пересекаются более одного раза.
Имена сложных многоугольников иногда отличаются от названий простых многоугольников с таким же количеством сторон.
Например:
- Правильная форма шестиугольник - это простой шестиугольник с шестью сторонами.
- Звездообразная гексаграмма представляет собой сложный шестиугольник, образованный наложением двух равносторонних треугольников.
Правило суммы внутренних углов
Как правило, каждый раз при добавлении стороны к многоугольнику, например:
- От треугольника до четырехугольника (от трех до четырех сторон)
- От пятиугольника к шестиугольнику (от пяти до шести сторон)
к сумме внутренних углов добавляется еще 180°.
Это правило можно записать в виде формулы:
(n - 2) × 180°
где n равно количеству сторон многоугольника.
Таким образом, сумму внутренних углов шестиугольника можно найти по формуле:
(6 - 2) × 180°=720°
Сколько треугольников в этом многоугольнике?
Приведенная выше формула внутреннего угла получена путем деления многоугольника на треугольники, и это число можно найти с помощью вычисления:
n - 2
В этой формуле n равно количеству сторон многоугольника.
Шестиугольник (шесть сторон) можно разделить на четыре треугольника (6 - 2), а двенадцатиугольник на 10 треугольников (12 - 2).
Размер угла для правильных многоугольников
Для правильных многоугольников, в которых все углы имеют одинаковый размер, а стороны имеют одинаковую длину, размер каждого угла в многоугольнике можно рассчитать, разделив общий размер углов (в градусах) на общее число сторон.
Для правильного шестиугольника каждый угол равен:
720° ÷ 6=120°
Некоторые известные полигоны
Хорошо известные полигоны включают:
Фермы
Стропильные фермы часто имеют треугольную форму. В зависимости от ширины и уклона крыши ферма может состоять из равносторонних или равнобедренных треугольников. Из-за большой прочности треугольники используются при строительстве мостов и велосипедных рам. Они видны на Эйфелевой башне.
Пентагон
Пентагон - штаб-квартира Министерства обороны США - получил свое название от своей формы. Здание представляет собой правильный пятиугольник с пятью сторонами.
Домашняя тарелка
Еще один хорошо известный пятисторонний правильный пятиугольник – это исходная пластина бейсбольного ромба.
Фальшивый Пентагон
Гигантский торговый центр недалеко от Шанхая, Китай, построен в форме правильного пятиугольника и иногда называется Фальшивым Пентагоном.
Снежинки
Каждая снежинка начинается как шестиугольник, но температура и уровень влажности добавляют ветви и усики, так что каждая снежинка в конечном итоге выглядит по-разному.
Пчелы и осы
Природные шестиугольники также включают ульи, где каждая ячейка в сотах, которые пчелы строят для хранения меда, имеет шестиугольную форму. Гнезда бумажных ос также содержат шестиугольные ячейки, в которых они выращивают своих детенышей.
Дорога гигантов
Шестиугольники также можно найти на Дороге гигантов, расположенной на северо-востоке Ирландии. Это естественное скальное образование, состоящее примерно из 40 000 взаимосвязанных базальтовых колонн, образовавшихся в результате медленного остывания лавы древнего извержения вулкана.
Восьмиугольник
Восьмиугольник - название, данное кольцу или клетке, используемой в боях Ultimate Fighting Championship (UFC), - получил свое название от своей формы. Это правильный восьмиугольник с восемью сторонами.
Стоп-сигналы
Знак «Стоп» - один из самых знакомых дорожных знаков - представляет собой еще один правильный восьмиугольник. Хотя цвет, формулировка или символы на знаке могут различаться, восьмиугольная форма знака остановки используется во многих странах мира.